Jak polscy matematycy i informatycy modelują epidemię?

Ministerstwo Zdrowia poinformowało PAP, że korzysta z kilku różnych modeli rozwoju epidemii COVID-19 w Polsce. "Stanowią one podstawę opracowania prognoz i scenariuszy uwzględniających wprowadzane interwencje" - pisze biuro prasowe MZ. Modele te opracowywane są równolegle m.in. przez analityków Ministerstwa Zdrowia i współpracujące z resortem jednostki naukowo-badawcze.

MZ w połowie maja wskazał zespół 20 ekspertów, którzy zaangażowani są w prace na rzecz modelowania epidemiologicznego dla COVID-19. Opracowali oni cztery modele. Każdy z tych modeli tworzony jest inaczej, ma inne mocne strony, bazuje na nieco innych metodach i skupia się na analizie nieco innych danych. Dzięki temu można testować różne podejścia do walki z epidemią i skuteczniej przewidywać jej rozwój.

Resort zdrowia zaznacza, że naturalnym elementem pracy nad modelami jest ich bieżąca kalibracja, a więc aktualizowanie modeli w miarę pojawiania się nowych danych. Dzięki temu można jak najlepiej odzwierciedlić dynamikę epidemii.

Każdy z zespołów raz - dwa razy w tygodniu przesyła ministerstwu raport.

I tak np. model zespołu skupionego wokół ICM Uniwersytetu Warszawskiego to model granularny, agentowy - każdą z ok. 40 mln osób, które mieszkają w Polsce, traktuje się w nim jako osobny byt (tzw. agenta). W modelu agenci są rozmieszczeni na mapie geograficznej Polski mniej więcej tak, jak rozmieszczeni są w kraju Polacy. A każdy ma przypisane cechy dla niego charakterystyczne - np. gdzie spotyka się z innymi i jaka jest u niego szansa na transmisję wirusa. Dane socjodemograficzne, którymi "nakarmiony" jest model, zaczerpnięto z GUS.

W modelu tym dostępne są różne warstwy - miejsca gdzie może dochodzić do transmisji wirusa, np. szkoły, zakłady pracy, komunikacja publiczna, ulica. Warstwy te można włączać czy wyłączać, aby sprawdzić, które scenariusze lockdownu będą bardziej skuteczne. Jest tam też możliwość, aby sprawdzać, jak wpłynęłoby na rozwój epidemii objęcie kwarantanną poszczególnych regionów geograficznych kraju. Do przeliczenia tak dużej ilości danych wykorzystuje się superkomputer.

Kierownik prac nad modelem, dr Franciszek Rakowski z ICM UW w rozmowie z PAP mówi, że z modelu tego wynika, że pojedynczą warstwą, która pozwala najbardziej ograniczyć transmisję wirusa, są szkoły. "Skupionych jest tam dużo osób, w zamkniętych pomieszczeniach, trudno utrzymać reżim sanitarny" - wymienia. Dodaje jednak, że w modelu założono, że wirus przenosi się równie łatwo u dzieci, jak i u dorosłych. "A tego jeszcze nie wiadomo" - zwraca uwagę.

Ten model to model uniwersalny prognozujący rozprzestrzenianie się chorób przenoszonych drogą kropelkową. Powstał w latach 2008-2011 i wykorzystywano go już m.in. do prognozowania rozwoju epidemii świńskiej grypy.

Zespół prof. Tylla Krgera z Politechniki Wrocławskiej również w swoich prognozach używa superkomputera, ale ci eksperci skupiają się na innym aspekcie epidemii. W ich modelu MOCOS (MOdelling Coronavirus Spread) ważne jest przede wszystkim to, jak wirus przenosi się w sieciach społecznych - np. między gospodarstwami domowymi. Realistycznie jest tam więc modelowana struktura gospodarstw domowych i połączeń między 40 mln Polaków.

Model ten daje też wgląd w to, jak zidentyfikować granicę między fazą wygasania epidemii i jej wzrostu. Pozwala m.in. testować rozwój epidemii, jeśli: ograniczy się kontakty społeczne, skuteczniej będzie się śledzić kontakty zakażonych, a także zwiększy liczbę wykonywanych testów.

"Polska od kilku tygodni znajduje się na linii krytycznej, która wyznacza granicę między dwoma fazami epidemii. Jeśli chcemy poluzować ograniczenia społeczne, musimy to czymś kompensować, aby nie nastąpił wzrost epidemii - to może być skuteczniejsze śledzenie kontaktów osób zakażonych i większa liczba wykonywanych testów" - mówi w rozmowie z PAP prof. Tyll Krger.

Zespół z Wydziału Matematyki Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego i z NIZP-PZH z kolei przygotował dwa modele: model typu SEIR i i jego stochastyczny odpowiednik: SEIR-stochastic. W modelu SEIR populacja jest podzielona na 4 grupy ludzi: podatnych, eksponowanych na wirusa, zainfekowanych i wyzdrowiałych/odpornych (Susceptible - Exposed - Infectious - Recovered). Opracowane są też przejścia między tymi grupami, które zależą od specyfiki choroby COVID-19. Jak mówi PAP prof. Anna Gambin z MIM UW, z podobnego modelu korzysta też niezależnie Ministerstwo Zdrowia.

Model SEIR-stochastic (który wykorzystuje symulacje losowe) bierze dodatkowo pod uwagę, czy osoba zarażająca zostanie zdiagnozowana czy nie i uwzględnia dzienną liczbę wykonywanych w Polsce testów.

"Symulacje z naszego modelu pokazują, że odpowiednio wysoka dzienna liczba testów jest kluczowa dla wygaszenia epidemii w Polsce" - mówi prof. Anna Gambin.

Dodaje, że zespół rozwija też ostatnio model epidemii dwóch różnych prędkości. Kiedy bowiem pojawiają się ogniska epidemii (co miało miejsce choćby na Śląsku czy w szpitalach) - współczynnik dotyczący tempa zarażeń jest tam inny niż w populacji ogólnej. A to też trzeba uwzględnić, aby lepiej zrozumieć, jak rozprzestrzenia się epidemia.

Prof. Tyll Krger podsumowuje, że wrocławski model MOCOS ma szczegółowo opracowane zagadnienia związane ze śledzeniem kontaktów i kwestie związane z kwarantanną. Modele z typu SEIR dobrze spisują się zwłaszcza, kiedy jest dużo zakażonych. A model z ICM dobrze modeluje to, co się dzieje na poziomie polskich regionów. Każdy więc model ma inne mocne strony.

Prof. Gambin pytana, jakie obszary matematyki przydają się w prognozowaniu epidemii, podsumowuje: "sercem każdego z naszych modeli jest odpowiedni układ równań różniczkowych. Wszędzie opisany jest bowiem przepływ populacji między kolejnymi kompartmentami. Takie równania są klasyką w epidemiologii" - opowiada. Tłumaczy jednak, że w modelu SEIR-stochastic korzysta się dodatkowo z modelowania stochastycznego, czyli statystycznych modeli rzeczywistości. A modele z ICM i PWr to tzw. modele multiagentowe, w których stosowana jest jeszcze teoria grafów.

Dr Rakowski pytany, czy nie dałoby się połączyć tych modeli w jeden "supermodel", odpowiada pytaniem: "A co, gdyby taki supermodel popełnił superbłąd, który potem przyjęlibyśmy za pewnik?".

A resort zdrowia komentuje: "Niezależne wykonywanie modeli przez różne instytucje jest wskazane dla: oceny przyjmowanych w nich założeń i trafności ich predykcji oraz umożliwienia odpowiedzi na jak najszerszy zakres pytań".